Colloque des sciences mathématiques du Québec

11 janvier 2008 de 16 h 00 à 18 h 00 (heure de Montréal/Miami) Sur place

L'invariance de Thomae de 3F2 par le groupe symétrique S5 et les produits de matrices (2,2) aléatoires

Colloque par Gérard Letac (Université Paul Sabetier)

En 1879, Thomae a découvert une étonnante propriété d'invariance par le groupe $\mathcal{S}_5$ des permutations de 5 objets de la fonction de cinq variables $$(a,b,c,d,e)\mapsto \, _3F_2(a,b,c;d,e;1)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a)_n (b)_n (c)_n }{n!(d)_n (e)_n }$$ Nous commencons par en donner une déémonstration. La formule de Thomae fournit la clé pour montrer que la loi marginale de $X$ quand $$(X,X')\sim C(1-xx')^{b-a-a'}\beta_{a,a'}(dx)\beta_{a',a}(dx')$$ est la loi de la fraction continue aléatoire $$\frac{1}{1+\frac{W_1}{1+\frac{W'_1}{1+\frac{W_2}{1+...}}}}$$ lorsque $(W_n)_{n\geq 1}$ et $(W'_n)_{n\geq 1}$ sont deux suites indépendantes et chacune \textit{i.i.d.} de lois $\beta^{(2)}_{b,a}$ et $\beta^{(2)}_{b,a'}.$ Ces compositions d'homographies aléatoires se traduisent facilement par des produits de matrices aléatoires indépendantes. Mais les calculs explicites comme celui ci sont mystérieux et rarissimes.

Adresse

UdeM, Pav. André-Aisenstadt, 2920, ch. de la Tour, salle 6214