Nautilus Shell, 1927 by Edward Weston
@1981 Center for Creative Photography, Arizona Board of Regents

Le nombre d'or et la spirale

Le nombre d'or [(1+5)/2=1,618...] possède la propriété unique et exceptionnelle suivante. Si on construit ce qu'on appelle un rectangle d'or, c'est-à-dire un rectangle dont le rapport des côtés a/b est égale au nombre d'or (figure 1) et qu'on lui enlève un carré (figure 2), on obtient encore un rectangle d'or (le rapport c/d est encore égale au nombre d'or). Autrement dit, ce nouveau rectangle possède les mêmes proportions que le rectangle initial. Il est important de remarquer que cette caractéristique n'est vraie que pour le rectangle d'or. Par exemple, si on enlève un carré au rectangle arbitraire de la figure 3, on n'obtient pas du tout un nouveau rectangle ayant les mêmes proportions que le premier. Revenons au rectangle d'or et au passage de la figure 1 à la figure 2. Si le processus est vrai pour tout rectangle d'or, alors on peut le répéter et enlever un nouveau carré au rectangle "cd": on obtient encore une fois un rectangle d'or plus petit (fig 4). On peut répéter le processus à l'infini et obtenir ainsi toute une série de rectangles emboîtés les uns dans les autres en forme de spirale (fig 5).

Cette spirale très particulière (appelée spirale logarithmique) est exactement celle de la coquille du nautile (la photo de l'affiche) et de certains escargots (le planorbe ou escargot plat). On la retrouve aussi dans les cornes de certaines chèvres (markhor, girgentana), dans la forme de certaines toiles d'araignées, ainsi que dans le tracé de l'envol de certaines colonies de chauve-souris.

Remarquez que cette spirale (ainsi que la série infinie de rectangles emboîtés) est un exemple d'un objet auto-similaire, c'est-à-dire d'une structure qui se répète de façon identique, mais de plus en plus petite, à toutes les échelles (comme la fougère représentée sur une autre des affiches). En fait, cette auto-répétition d'un même motif se reflète directement dans la structure mathématique du nombre d'or (voir ci-dessous).

Apparemment, Stradivarius aurait utilisé le nombre d'or dans la construction de ses violons. La position des deux ouvertures en forme de " f " sur le dessus du violon est absolument primordiale pour la beauté du son et Stradivarius aurait utilisé le nombre d'or pour calculer leur positionnement (The New Oxford Companion to Music, vol 2, p. 1927). Mentionnons, toutefois, qu'il n'y a pour l'instant aucun fondement mathématique à cette utilisation du nombre d'or: bien que la position des ouvertures en formes de " f " soit d'une grande importance, il n'est pas clair que cette importance soit réellement reliée au nombre d'or. D'ailleurs, la plupart des violons d'aujourd'hui ne font pas usage de ce nombre. Mais il est vrai que selon les experts leur son n'est pas aussi beau que celui d'un Stradivarius...

Nombre d'or et nombres de Fibonacci

On peut voir la structure "fractale" du nombre d'or en l'écrivant sous forme de fraction continue:

De plus, lorsqu'on prend les approximations successives de cette série, on retrouve les nombres de Fibonacci (ou plus précisément les rapports de ces nombres):



etc.

Stéphane Durand