Introduction à la topologie
des ensembles fractals


PM026
264 pages
ISBN 2-921120-37-2
2003

S. Baldo

Cet ouvrage résulte d'un cours donné par Claude Tricot à l'École Polytech-nique de Montréal en hiver 1990. Rédigé et complété par Stéphane Baldo à partir de notes de cours, il constituera le document de base pour les prochains cours en «Analyse Fractale» à l'École Polytechnique. Il est destiné à des étudiants d'origines scientifiques diverses (ingénieurs, physiciens, mathématiciens). Il reprend à la base toute la topologie nécessaire à une bonne compréhension d'une classe importante d'ensembles fractals: les attracteurs, ensembles limites d'un système de fonctions itérées (S.F.I.). On y voit donc l'essentiel des espaces métriques, complets, com-pacts, connexes, et des transformations (affines ou autres) d'espaces métriques. A titre d'application, on étudie les systèmes de contractions itérées, et divers algorithmes de calcul d'un attracteur. Le lemme de Borel-Cantelli est rappelé pour prouver la convergence de certaines orbites. Les théorèmes principaux sont:

  • le théorème du point fixe dans l'espace métrique des ensembles fermés muni de la distance de Hausdorff, et
  • le théorème sur la dépendance continue de l'attracteur par rapport à un paramètre.

Table des matières

  • Préface
  1. Espaces métriques et espaces H(aleph)
  2. Attracteurs et S.F.I.
  3. Mesures et dimensions

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