Quebec Mathematical Sciences Colloquium

January 11, 2008 from 16:00 to 18:00 (Montreal/Miami time) On location

L'invariance de Thomae de 3F2 par le groupe symétrique S5 et les produits de matrices (2,2) aléatoires

Colloquium presented by Gérard Letac (Université Paul Sabetier)

En 1879, Thomae a découvert une étonnante propriété d'invariance par le groupe $\mathcal{S}_5$ des permutations de 5 objets de la fonction de cinq variables $$(a,b,c,d,e)\mapsto \, _3F_2(a,b,c;d,e;1)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a)_n (b)_n (c)_n }{n!(d)_n (e)_n }$$ Nous commencons par en donner une déémonstration. La formule de Thomae fournit la clé pour montrer que la loi marginale de $X$ quand $$(X,X')\sim C(1-xx')^{b-a-a'}\beta_{a,a'}(dx)\beta_{a',a}(dx')$$ est la loi de la fraction continue aléatoire $$\frac{1}{1+\frac{W_1}{1+\frac{W'_1}{1+\frac{W_2}{1+...}}}}$$ lorsque $(W_n)_{n\geq 1}$ et $(W'_n)_{n\geq 1}$ sont deux suites indépendantes et chacune \textit{i.i.d.} de lois $\beta^{(2)}_{b,a}$ et $\beta^{(2)}_{b,a'}.$ Ces compositions d'homographies aléatoires se traduisent facilement par des produits de matrices aléatoires indépendantes. Mais les calculs explicites comme celui ci sont mystérieux et rarissimes.

Address

UdeM, Pav. André-Aisenstadt, 2920, ch. de la Tour, room 6214