La Chaire Aisenstadt a été fondée par le montréalais Dr André Aisenstadt. Cette chaire permet d'accueillir chaque année un ou deux mathématiciens de renom pour une durée d'au moins une semaine (idéalement un ou deux mois). Au cours de leur séjour, ces chercheurs donnent une série de conférences sur un sujet spécialisé, dont la première, à la demande du donateur Dr Aisenstadt, doit être accessible à un large auditoire. Ils sont également invités à rédiger une monographie. Les détenteurs précédents de la Chaire furent Marc Kac, Eduardo Zarantonello, Robert Hermann, Marcos Moshinsky, Sybren de Groot, Donald Knuth, Jacques-Louis Lions, R. Tyrell Rockafellar, Yuval Ne'eman, Gian-Carlo Rota, Laurent Schwartz, Gérard Debreu, Philip Holmes, Ronald Graham, Robert Langlands, Yuri Manin, Jerrold Marsden, Dan Voiculescu, James Arthur, Eugene B. Dynkin, David P. Ruelle, Robert Bryant et Blaine Lawson. Cette année, le CRM a offert deux Chaires, chacune en étroite relation avec le thème de ce semestre en analyse appliquée, l'une à Y. Meyer et l'autre à I. Karatzas.
Durant le semestre consacré aux fonctions splines et à la théorie des ondelettes, le professeur Yves Meyer a donné plusieurs conférences intitulées «Analyse temps-échelle et temps-fréquence en traitement du signal ou de l'image». Des notes de cours détaillées seront publiées par l'American Mathematical Society, dans la collection CRM Monograph Series.
Le professeur Meyer détient le titre de «Professeur de classe exceptionnelle» à l'Université de Paris -Dauphine. Depuis 1991, il est détaché à l'Institut Universitaire de France. Il est aussi membre de l'Institut (Académie des Sciences de Paris) et membre ho noraire étranger de l'American Academy of Arts and Sciences. Il s'est vu décerner les prix Peccot (1969), Salem (1970), Carrière (1972) et le Grand Prix de l'Académie des Sciences (1984). Il fut invité à donner des conférences à l'International Congress of Mathematicians à Nice (1970), Warsaw (1983) et Kyoto (1990) ainsi qu'à l'International Congress of Mathematical Physics à Swansea (1988) et à l'International Congress of Applied Mathematics à Washington (1991).
Avant d'occuper son poste actuel, le professeur Meyer a travaillé dans plusieurs universités françaises dont celles de Strasbourg et de Paris-Sud, et l'École Polytechnique. Il s'intéresse dernièrement à tout ce qui a trait aux ondelettes, y compris la construction de bases orthonormées d'ondelettes, l'analyse de l'image, le traitement du signal et les équations de Navier-Stokes. Outre ses nombreux articles dans ce domaine, il a publié une série de livres sur les différents aspects de la théorie des ondelettes. Ses recherches ont aussi eu un impact significatif dans le domaine des nombres algébriques, de l'analyse harmonique et des opérateurs pseudo-différentiels.
Le professeur Meyer a dirigé environ trente étudiants au doctorat, organisé plusieurs conférences et édité divers comptes rendus.
Ioannis Karatzas est diplômé de la National Technical University of Athens en 1975, et de Columbia University en 1975 (M.Sc.) et en 1980 (Ph.D.). Après une année de recherche postdoctorale en mathématiques appliquées à Brown University, il est retourné à Columbia où il occupe actuellement le poste Eugene Higgins de Professeur en probabilité appliquée. Ses intérêts de recherche sont orientés vers les probabilités et les statistiques mathématiques, les processus aléatoires, le calcul stochastique, le contrôle stochastique et l'optimisation, et, plus récemment, les mathématiques des finances.
Le professeur Karatzas a à son actif cinquante-six articles, plusieurs notes de cours ainsi que le livre bien connu «Brownian Motion and Stochastic Calculus», écrit en collaboration avec S.E. Shreve. Il compte aussi publier en 1997, toujours avec Shreve, un autre livre intitulé «Methods of Mathematical Finance». Il est aussi membre de l'Institute of Mathematical Statistics et siège au comité de rédaction de plusieurs journaux renommés.
Les conférences du professeur Karatzas ont été appréciées par un auditoire enthousiaste de mathématiciens, d'économistes et de spécialistes en matière de finances. Elles seront publiées cet automne par l'AMS, dans la collection CRM Monograph Series, sous le titre de «Lectures on the Mathematics of Finance».
Le Forum canadien sur l'enseignement des mathématiques avait pour objectif de rassembler les diverses parties prenantes à l'enseignement des mathématiques au Canada (gouvernement, industrie et enseignants de la maternelle jusqu'aux études supérieures) pour leur procurer une occasion unique de discuter de la situation des mathématiques au pays, depuis l'école primaire jusqu'au marché du travail. Les participants ont pu y échanger des connaissances et apprendre à collaborer toujours plus efficacement à l'avancement des mathématiques, à la formation des étudiants et à l'essor de notre discipline dans la société et l'industrie.
Les préparatifs ont commencé en septembre 1993 par la formation d'un comité organisateur, dont voici la composition définitive: Katherine Heinrich (présidente), Université Simon Fraser; Carryl Koe, Delta Resource Centre; Monique Bouchard, Société mathématique du Canada (SMC); Sandy Dawson, Groupe d'étude sur l'enseignement des mathématiques au Canada; André Deschênes, Séminaire de Québec; Florence Glanfield, ministère de l'Éducation de l'Alberta; Keith Gray, Business Council of BC; Ginette Ouellette, Cégep de Maisonneuve; Suraj Sikka, J.L. Insley High School; Ken Towson, Capilano College; Graham Wright, représentant de l'Université d'Ottawa et directeur administratif de la SMC. Nous avons d'abord examiné les nombreux rapports parus au cours des dernières années sur l'enseignement des mathématiques au Canada et y avons remarqué de nombreux recoupements. De ces documents, nous avons dégagé trois points importants autour desquels nous avons articulé le Forum:
Voici en quoi consistait le programme présenté aux quelque 100 participants:
Le Forum a reçu l'appui et le soutien des gouvernements fédéral et provinciaux, d'entreprises misant sur le savoir mathématique de leurs employés, d'associations provinciales d'enseignants, d'associations mathématiques, d'universités, de collèges et de cégeps. Soulignons notamment la contribution financière des organisations suivantes: l'Association des banquiers canadiens; la Société mathématique du Canada; le Centre de recherches mathématiques; le Congrès ICME-7 Congress (Québec, 1992); le Fields Institute for Research in Mathematical Sciences; les gouvernements de la Colombie-Britannique, du Nouveau-Brunswick, de la Nouvelle-Écosse, de Terre-Neuve et du Labrador, de l'Ontario, du Québec et du Territoire du Yukon; Industrie Canada; le Mathematics, Science and Technology Education Group (Université Queen's); le National Council of Teachers in Mathematics; l'Association québécoise des professeurs de mathématiques; la Société des canadiennes dans les sciences et les technologies.
Le Forum a été couronné de succès: il nous a permis d'échanger les uns avec les autres, mais surtout, de tendre l'oreille. Les participants en sont repartis avec l'intention de collaborer davantage. Il s'agit maintenant de se donner les moyens de rester en contact pour conserver le même niveau de soutien et d'encouragement. Notre première démarche a été de créer un site Web http://camel.math.ca/CMS/Forum
où nous mettrons tous les documents ayant trait au
Forum. On y trouve un document de A.J. (Sandy) Dawson intitulé «L'enseignement des mathématiques
au Canada: Objectifs, problèmes et recommandations»
et un autre où sont décrites plus de 60 activités mathématiques parascolaires se déroulant
un peu partout au pays. Nous avons aussi créé un groupe de discussion par courrier électronique
math-forum@cms.math.ca
et invitons les membres à y participer.
Lors de cette rencontre, à laquelle nombre de chercheurs ont participé, deux séances spéciales ont retenu l'attention de l'auditoire: «Numerical Analysis of Nonlinear Differential and Integral Equations» (organisée par Hermann Brunner) et «Climate, Meteorology, Environment» (organisée par Sam Shen, Univ. of Alberta), chacune reflétant les tendances actuelles dans leur domaine de recherche respectif.
La première séance regroupait sept conférenciers: Alastair Spence (Univ. of Bath, UK), Chris Budd (Univ. of Bristol, UK; maintenant à Bath), Andrew Stuart (Stanford Univ.), David Sloan (Univ. of Strathclyde, Glascow), Sue Campbell (Univ. of Waterloo), Yanping Lin (Univ. of Alberta), and Uri Ascher (Univ. of British Columbia). Les sujets des conférences étaient variés: on y a parlé, entre autres, des équations intégrales différentielles-algébriques survenant en modélisation de la combustion catalytique, de blow-up dans les équations aux dérivées partielles semi-linéaires paraboliques, des méthodes pseudo-spectrales pour les problèmes singuliers des équations à délai, des équations intégro-différentielles de Volterra, et de divers aspects du calcul déterministe et probabiliste pour les équations différentielles ordinaires et les équations aux dérivées partielles.
À en juger par la réaction des participants, ces conférences étaient bien représentatives des recherches actuelles en analyse numérique non linéaire, et furent très appréciées de par leur présentation claire et sérieuse. De plus, les chercheurs invités encourageaient les discussions pour approfondir certaines questions soulevées lors des conférences, et n'hésitaient pas à apporter aux auditeurs enthousiastes leur expertise.
La seconde séance regroupait cinq conférenciers: Bryant Moodie (Univ. of Alberta), Paul Sullivan (Univ. of Western Ontario), Richard Greatbach (Memorial Univ. of Newfoundland), Gerald North (Texas A&M Univ.) et Sam Shen (Univ. of Alberta). Leurs conférences complétaient parfaitement celles de la première séance; on y a présenté, par exemple, les courants gravitationnels, l'analyse de stabilité pour des modèles simples de climat, l'estimation optimale du changement global des climats, le monitorage de la concentration en polluants et on y a posé la question: «pourquoi le Pacifique Nord est si différent de l'Atlantique Nord?»
D'après les commentaires des participants, cette 16e rencontre annuelle SCMA fut un véritable succès: les conférenciers ont pu exposer de récents travaux de recherche et stimuler, par la même occasion, de longues discussions, voire même de futures collaborations entre les chercheurs. Elle fut organisée plutôt comme un atelier que comme une rencontre traditionnelle et on y a limité le nombre de conférences très spécialisées portant sur des sujets très variés.
Cette conférence s'est déroulée pendant le Congrès de l'Association canadienne des physiciens (ACP). Ce congrès, en lui-même, a été un événement majeur: l'ACP y fêtait son 50e anniversaire et avait invité, pour l'occasion, d'importantes délégations de l'American Physical Society et de la Sociedad Mexicana de Fisica, pour faire de cette célébration un événement nord-américain. La séance sur la physique théorique et mathématique, commanditée par le CRM, reflétait aussi ce désir de consolider les liens entre la communauté canadienne des physiciens théoriques et celles des États-Unis et du Mexique. C'est d'ailleurs, lors du banquet du congrès, que le professeur Werner Israel (Univ. of Alberta) s'est vu décerné, pour la première fois, le prix ACP/CRM en physique mathématique et théorique (voir la section sur les prix CRM). Les sujets couverts représentaient les branches les plus actives en physique mathématique et théorique au Canada: gravitation classique et quantique, théorie des champs quantiques, systèmes intégrables classiques et quantiques et utilisation des symétries en physique.
Gravitation classique et quantique. Cette section proposait un large éventail de problèmes modernes sur ce sujet: les prédictions théoriques de la relativité générale, son contenu géométrique, la gravité quantique et ses mesures. Les conférenciers étaient: G. Kunstatter (Winnipeg), R. Laflamme (Los Alamos), A. Macias (Iztapalapa), T. Matos (IPN, San Pedro), L.O. Pimentel (Iztapalapa), E. Poisson (Washington), G.F. Torres del Castillo (Puebla), J.D. Vergera (UNA de Mexico), H. Waelbroeck (UNA de Mexico).
Théorie des champs quantiques. Dans cette section, on a abordé différents aspects de la théorie des champs quantiques, à savoir les schémas de quantification, la théorie des champs conformes, les applications en optique non linéaire et en physique de l'état solide pour les problèmes d'impureté; les modèles de réseaux, les relations en mécanique statistique, etc. Les conférenciers étaient: I. Affleck (UBC), D. Caenepeel (Montréal), A. Das (Rochester), R. Jackiw (MIT), A. Leclair (Cornell), P. Lepage (Cornell), E. Lieb (Princeton), R. Mackenzie (Montréal), P. Nelson (U. Penn.), P. Ramond (Floride), B. Sakita (City Coll. of CUNY), M. Shifman (U. Minnesota), T. Steele (Saskatchewan), J. Tuszynski (Alberta).
Systèmes intégrables classiques et quantiques. L'intégrabilité est un sujet plutôt récent qui est né de la découverte des équations aux dérivées partielles non linéaires ayant des propriétés remarquables, telles les principes de superposition et les propriétés de diffusion élastique de certaines de leurs solutions localisées. En moins de trente ans, l'intégrabilité a pris un essor considérable en physique théorique uni- et bi-dimensionnelle. Les conférences ont porté sur les sujets suivants: chaînes de spin et leurs structures algébriques, recherche de solution par des méthodes algébriques, nouvelles structures algébriques comme les groupes quantiques, les algèbres parafermioniques et les structures de Yangian, etc. Les conférenciers étaient: H. Bougourzi (Montréal et Stony Brook), F.D. Haldane (Princeton), V. Korepin (Stony Brook), Hoong-Chin Lee (National Chung Hsing Univ.), P. Mathieu (Laval), Y. Saint-Aubin (Montréal), L. Vinet (Montréal), P. Wiegman (Chicago), Yong-Shi Wu (Utah).
Symétries en physique. Les symétries et les structures mathématiques sous-jacentes de groupes et d'algèbres de Lie ont été l'un des plus puissants outils en physique mathématique de ce siècle. Plusieurs sujets de la recherche actuelle dans ce domaine ont été exposés: les symétries des équations différentielles et aux différences, les aspects calculatoires de la théorie de représentation des algèbres de Lie, les structures apériodiques, etc. On trouvait parmi les conférenciers: W.E. Baylis (Windsor), R. Floreanini (Trieste), S. Hacyan (UNA de Mexico), N. Kamran (McGill), M. Légaré (Alberta), L. Marchildon (UQTR), B. Mielnik (Mexico et Varsovie), J. Patera (Montréal), D. Provost (Laurentian), M. Thoma (McGill), P. Winternitz (Montréal), K.B. Wolf (UNA de Mexico).
Cette conférence eut lieu à l'occasion du Séminaire annuel de la Société mathématique du Canada 1995 et avait pour thème principal les équations aux dérivées partielles (EDP). Nous voulions accentuer les interactions entre le domaine des EDP et d'autres domaines d'étude, comme les groupes arithmétiques, le comportement asymptotique spectral, la géométrie différentielle, la dynamique des fluides et la physique quantique. Outre les nombreuses conférences données par des mathématiciens de renom, cinq mini-cours ont été organisés, dont l'un a même été donné par Charles Fefferman, dans le cadre des «Fields Institute's Distinguished Lecture Series».
De jeunes mathématiciens ont aussi pu apporter leur concours, pendant deux séances qui leur étaient réservées. Les étudiants aux cycles supérieurs, en provenance des universités canadiennes et d'ailleurs, ont pu suivre activement des cours et des conférences donnés par des chercheurs exceptionnels, connus pour leurs travaux originaux et leur éloquence. Certains d'entre eux ont même accepté de rédiger des notes de cours qui, une fois corrigées par les conférenciers, seront publiées par le CRM, dans la collection «Seminar Proceedings».
Les séminaires ont attiré l'attention des étudiants aux cycles supérieurs comme des mathématiciens professionnels du monde entier: certains venaient d'Autriche, d'Israël, des États-Unis, de France, d'Angleterre, de Russie, d'Écosse, d'Espagne, d'Italie, de Suède, du Mexique et, évidemment, du Canada.
Ce séminaire de l'été 1995 a favorisé les contacts entre différents chercheurs. C'est ainsi que Papanicolau et Sulem sont en train d'écrire un livre, basé sur leurs conférences, et que Ron Howard, un étudiant de Charles Fefferman (Princeton), travaille en collaboration avec Peter Constantin (Chicago). Qui plus est, de fructueux travaux de recherche ont pris naissance lors de ce séminaire.
Parmi les quatre-vingt-un participants inscrits, on retrouvait non seulement des experts en EDP, mais aussi des géomètres algébristes, des experts en théorie des nombres, des ingénieurs, des physiciens et des non-spécialistes, qui ont pu apprécier un domaine de recherche mathématique actif, tout en ayant un meilleur aperçu des mathématiques au Canada.
Cet atelier a brillamment réussi à mettre en interaction des statisticiens et des scientifiques en physique et en biologie reconnus, travaillant en analyse des données pour les systèmes dynamiques non linéaires et pour les séries chronologiques. Nous avions, en effet, pour objectif premier, de promouvoir les échanges entre ces deux groupes de chercheurs et d'encourager ainsi la recherche interdisciplinaire. Les nouvelles perspectives et la méthodologie de l'analyse des séries chronologiques, inspirées par les récents travaux en dynamique non linéaire et en théorie du chaos, ont apporté de nouveaux points de vue et ont suggéré des problèmes ouverts pour les statisticiens; en contrepartie, les scientifiques en physique et en biologie ont bénéficié de l'expertise des statisticiens en analyse des séries chronologiques et autres domaines connexes.
C'est John Chadam, alors directeur du Fields Institute pour la recherche en sciences mathématiques, qui eut l'idée de cet atelier. Les co-organisateurs furent Colleen Cutler pour les statistiques et Danny Kaplan pour la dynamique non linéaire. Le CRM, quant à lui, fut l'un des commanditaires, ainsi que l'hôte, de cet atelier qui se voulait être une suite aux rencontres internationales de statistiques, tenues à Montréal à la mi-juillet.
Ont pris part à ce programme vingt-deux conférenciers venant de toute part, dont la moitié était des statisticiens et l'autre des chercheurs en dynamique non linéaire appliquée aux mathématiques, à la physique ou à la biologie. Les professeurs Henry Abarbanel et Howell Tong ont donné les deux conférences d'ouverture. Les sujets couverts portaient sur les problèmes et la méthodologie liés au plongement et à la reconstruction des systèmes dynamiques à partir de l'observation de données en séries chronologiques, sur la prédiction des systèmes non-linéaires, sur l'évaluation de bornes pour l'erreur et l'estimation des exposants locaux de Lyapunov, sur l'efficacité des techniques de surrogate data, sur la séparation des composantes déterministes et stochastiques dans les séries chronologiques, sur la non linéarité et l'estimation pour les séries chronologiques avec dépendance à longue portée, et sur les idées et les techniques en contrôle du chaos.
Outre les conférenciers, quatre-vingts participants dont les domaines d'étude allaient des mathématiques et des statistiques à la physique, l'ingénierie, l'économie, la biologie et la géologie, se sont inscrits. Les discussions et les échanges, lors de cet atelier, furent vivants et fructueux, et le programme fut un véritable succès, si l'on en juge par les commentaires de l'auditoire.
Les comptes rendus officiels de cet atelier seront publiés dans l'un des volumes des «Fields Institute Communications», à la fin de l'année 1996.
Une cinquantaine de chercheurs ont participé à cette rencontre, répartis également entre «Fellows» et «Scholars» du programme, dont David Sankoff, Robert J. Cedergren et B. Franz Lang de l'Université de Montréal, leurs étudiants et boursiers postdoctoraux, les «Associés» du programme du Québec, du Canada, des États-Unis et outre-mer, des conseillers internationaux du programme, et des conférenciers.
Les thèmes du colloque étaient l'analyse mathématique des réarrangements génomiques et les algorithmes pour la phylogénie. Nous avions parmi les invités: M. S. Waterman (USC), J Felsenstein (U. Washington), P. Pevzner and S. Hannanhalli (Penn State and USC), J. Kececioglu (U. Georgia), M. Steel (New Zealand), T. Warnow (Penn), V. King (Victoria), E. Myers (Arizona), S. O'Brien (NIH), G. Olsen (Illinois).
L'atelier avait pour but d'explorer les différentes
façons de rendre les articles mathématiques «vivants»,
en y incluant des outils numériques et des améliorations concrètes. Un compte rendu de cet atelier sera
publié dans la collection «CMS Proceedings»: c'est en
fait une copie sur papier de la version électronique
intitulée «Proceedings of the Organic Mathematics
Workshop» qui est disponible à l'adresse
www.cecm.sfu.ca/organics.
Pour avoir une meilleure idée de l'atelier, nous vous recommandons de consulter, entre autres, les sections suivantes dans la page web:
Les conférences étaient, pour ainsi dire, totalement réussies sur le plan scientifique de par le choix des sujets et la clarté des exposés. De plus, le personnel du service technique au CECM était d'une aide précieuse quand il s'agissait de questions relatives au calcul; d'ailleurs, certaines conférences étaient données en ligne.
La version web des comptes rendus est disponible depuis avril et plus de 2200 personnes l'ont consultée; elle a d'ailleurs été reconnue par le réseau web, lorsqu'elle a été nommée «site of the week» dans Chronicle of Higher Education ou lorsqu'elle s'est vue attribuer trois étoiles par Magellan ou, encore, lorsqu'elle parut dans le Scout Report, par exemple.
Il est légitime de se demander: pourquoi produire une copie sur papier? On peut répondre que les livres conventionnels sont susceptibles de gagner un auditoire plus large, sans parler de leur rôle archivistique. D'ailleurs, la majeure partie de la version web est ba
sée sur des textes mathématiques: un livre peut facilement rendre ces articles accessibles au public, et pas seulement à ceux qui peuvent naviguer rapidement sur le net. De plus, le livre fournira une version permanente, avec de nombreuses références contrairement à la version web, en perpétuelle mise à jour.
Évidemment, la création d'une copie sur papier à partir d'une version électronique nécessite quelques ajustements. Par exemple, les liens sur le web ont été inclus comme notes de bas de page ou comme annexes. Tout le matériel ne pouvant être contenu dans un livre, faute d'espace, on a dû faire des choix. Les photographies couleur ont presque toutes été omises, pour des raisons pécuniaires. Les caractéristiques particulières aux pages web, comme les vidéos ou les sessions interactives avec Maple, n'ont pu, bien sûr, être retranscrites. D'un côté, toutes ces restrictions diminuent la valeur de la copie sur papier, mais d'un autre, elles permettent de mettre en valeur le plus important, à savoir le contenu mathématique.
Aussi, à notre époque où les nouvelles technologies du réseau internet évoluent si rapidement, la plupart d'entre nous préfèrent encore la lecture de pages manuscrites plutôt que de lire sur un écran. Et cette tendance risque de subsister pour quelque temps encore...
Les travaux de Carl Herz en mathématiques, et plus particulièrement en analyse, se sont avérés fort précieux: synthèse spectrale, théorie des espaces Ap, théorie Hp des martingales, décompositions atomiques, et plus récemment, analyse sur les groupes de Lie, pour ne citer que ceux-là. Outre ses intérêts mathématiques pour l'analyse, Carl Herz s'intéressait aussi aux théories des nombres, des probabilités et de la représentation.
Les conférences ont regroupé des mathématiciens de renommée internationale, venant du Canada, des États-Unis, de France, d'Italie, de Russie et d'Australie, pour discuter des travaux qui auraient pu intéresser Herz. Il y avait en tout vingt conférences d'une heure environ, à raison de quatre par jour pour les trois premiers jours, puis de cinq pour le quatrième jour et enfin de trois lors du cinquième et dernier jour. Le premier exposé portait sur les travaux de Herz et fut donné par Varopoulos. Ceux donnés par Stein, Kenig, Lohoue, Cowling, Gundy et Figa-Talamanca portaient sur les sujets sur lesquels l'influence de Herz fut proéminente. Christ, Stroock, Havin, Kahane, Koosis, Malliavin et Toth ont exposé des travaux en analyse pour la plupart en rapport avec l'analyse harmonique. Arthur, Sarnak, Boyd et Murty se sont penchés sur la théorie des nombres; Kamran s'est intéressé aux groupes de Lie et à la géométrie, et Langlands à la percolation et les systèmes sur réseaux.
Les comptes rendus des conférences seront publiés dans un volume de la collection CMS Conference Proceedings. Les participants, comme les conférenciers, sont encouragés à soumettre des articles pour publication qui seront alors arbitrés. S. Drury et R. Murty éditeront les comptes rendus. N. Kamran et R. Murty sont les éditeurs de la série.
La programmation semi-définie (PSD) est une généralisation de la programmation linéaire (PL), en ce sens que les contraintes non négatives sur les variables sont remplacées par une contrainte semi-définie positive sur les variables matricielles. La plupart des propriétés théoriques élégantes et des techniques efficaces de recherche de solution en PL s'appliquent dans le cadre de la PSD. En particulier, les méthodes primale-duale de point intérieur, qui sont si satisfaisantes en PL, peuvent être utilisées pour résoudre efficacement des problèmes en PSD.
En plus de l'intérêt intrinsèque des questions théoriques et algorithmiques en PSD, cette théorie a de nombreuses applications importantes en optimisation combinatoire, en théorie du contrôle, en statistique et dans d'autres domaines de la programmation mathématique. D'ailleurs, la PSD est, en ce moment, un domaine de recherche très actif. Il suffit de comptabiliser le nombre de conférences et articles récents en optimisation portant sur ce sujet pour s'en rendre compte.
L'atelier a attiré environ cent chercheurs. Des participants venant
d'Australie, d'Autriche, du Brésil, de
Belgique, du Canada, d'Israël, de France, de Hongrie,
d'Italie, des Pays-Bas, de Puerto Rico et des États-Unis
en ont fait un événement international. Il y a eu trente-neuf
conférences pendant les trois jours de l'atelier.
Tous les détails sur les participants, sur les conférenciers,
le titre de leur exposé et sur les résumés d'articles sont
disponibles à l'adresse
orion.uwaterloo.ca/~hwolkowi/fields.d/readme.html.
Voici un bref aperçu de quelques-unes des conférences données lors de cet atelier.
Deux conférences ont porté sur les problèmes de complétion de matrices, c.-à-d. sous quelles conditions une matrice partielle admet une complétion d'un certain type désiré. Ces problèmes ont été étudiés intensivement au début des années 80 et représentent un des premiers exemples de PSD.
Monique Laurent a présenté un exposé intitulé «A Connection Between Positive Semidefinite and Euclidean Distance Matrix Completion Problems». Bien qu'il y ait une forte corrélation entre les matrices semi-définies positives et les matrices de distance euclidienne, il demeure pour le moins difficile de lier les deux problèmes de complétion associés. Monique a montré comment les résultats sur le problème de complétion des matrices de distance euclidienne s'obtiennent à partir de ceux portant sur les matrices semi-définies positives, en utilisant une transformée fonctionnelle, introduite par Schoenberg.
Charlie Johnson a parlé des «Recent Progress on Matrix Completion Problems». Après un bref survol sur la complétion des matrices semi-définies positives, il s'est intéressé à la complétion des matrices totalement positives, des P-matrices, des M-matrices inverses, des matrices complètement positives et des matrices doublement non négatives.
Il y a eu ensuite une série de conférences sur les applications en optimisation combinatoire. La PSD a, en effet, contribué à résoudre divers problèmes combinatoires, dont celui de trouver une bonne approximation pour le problème max cut.
Stefan Karisch (avec Franz Rendl) a montré comment la PSD peut être utilisée pour approximer le problème de partition d'un graphe en des éléments de taille égale, dans sa conférence intitulée «Semidefinite Programming and Graph Equipartition». Il a même souligné les améliorations obtenues par rapport aux précédentes approches par les valeurs propres.
Christophe Helmberg (avec Franz Rendl et R. Weismantel) a discuté du problème Knapsack quadratique dans son exposé intitulé «Quadratic Knapsack Relaxations Using Cutting Planes and Semidefinite Programming». Bien que ce problème soit extrêment difficile à résoudre par la PL seule, Helmberg a montré en quoi la PSD s'avère très utile pour ce genre de questions.
Hsueh-I Lu (avec Philip Klein) s'est penché sur les «Approximation Algorithms for Semidefinite Progorams arising from Max Cut and Coloring».
Tamas Terlaky (avec J.P. Warners, C. Roos, B. Jansen), quant à lui, s'est intéressé à «Potential Reduction Algorithms for Structures Combinatorial Optimization Problems». Tamas a présenté une fonction potentielle modifiée, pour les problèmes de faisabilité binaire qui est plus intéressante, numériquement parlant, que les autres fonctions existantes. Il reformula, de façon très compacte, les problèmes de faisabilité binaire en problèmes d'optimisation quadratique non convexe. Il expliqua aussi des résultats numériques sur plusieurs exemples tirés du problème de coloration d'un graphe et du problème d'assignation de fréquences, comparant ainsi trois différentes fonctions potentielles.
Qing Zhao (avec Stefan Karisch, Franz Rendl et Henry Wolkowicz) a parlé des «Semidefinite Programming Relaxations for the Quadratic Assignment Problem», Qing a utilisé la structure spéciale du problème d'affectation quadratique pour construire un opérateur gangster qui lui permet de travailler sur la face minimale de l'ensemble réalisable. En explorant cette nouvelle structure et en utilisant une méthode sur les gradients conjugués, il put obtenir des bornes fortes pour l'ensemble du test de Nugent.
D'autres conférences ont porté sur les méthodes primales-duales de point intérieur en PSD. Une des raisons de l'intérêt pour la PSD est que l'approche de point intérieur de la PL peut être généralisée pour la PSD, bien que l'extension n'est pas tout à fait immédiate. Des complications intéressantes peuvent survenir comme les écarts duaux, le manque de conditions d'écart strictes et les choix confus dans les équations de complémentarité.
Kees Roos (avec Tamas Terlaky et Etienne de Klerk) s'est penché sur l'«Initialization in Semidefinite Programming via a Self-Dual Embedding», montrant ainsi comment le problème d'initialisation pour les problèmes semi définis peut être joliment résolu. La méthode fournit aussi une solution à l'initialisation des programmes quadratiques et s'applique aussi bien aux problèmes convexes plus généraux avec une formulation conique.
Zhi-Quan Luo (avec Jos F. Sturm et Shuzhong Zhang) a discuté de la «Superlinear Convergence of a Symmetric Primal-Dual Path Following Algorithm for Semidefinite Programming».
Michael J. Todd (avec Kim Chuan Toh et Reha H. Tutuncu), dans sa conférence intitulée «The Nesterov-Todd Direction in Semidefinite Programming» a montré comment calculer la direction efficacement et comment la percevoir comme une direction de Newton.
Romesh Saigal (avec Chih-Jen Lin) a parlé d' «An Infeasible Start Predictor Corrector Method for Semidefinite Linear Programming».
Shuzhong Zhang (avec Jos F. Sturm) s'est intéressé aux «Symmetric Primal-Dual Path Following Algorithms for Semidefinite Programming».
Yin Zhang, dans sa conférence intitulée «Infeasible Primal-Dual Interior-Point Methods for Semidefinite Programming», a exposé les formulations, ou schémas de symétrisation, pour la condition de complémentarité afin d'obtenir des systèmes de carré optimal, pour lesquels les méthodes de type Newton peuvent s'appliquer. Il a aussi présenté un théorème de complexité pour un algorithme non réalisable, long-step et path-following, ainsi que certains résultats numériques préliminaires sur quelques problèmes de calcul.
Plusieurs conférences ont porté sur la géométrie, la dualité et la complexité en PSD:
Franz Renkl (avec C. Helmberg) a discuté des «Large Scale Semidefinite Programming using Eigenvalues». L'avantage de cette méthode réside en le fait que les valeurs propres extrêmes des matrices symétriques peuvent être calculées sans connaître explicitement toutes les entrées des matrices.
Gabor Pataki a donné un exposé sur «Cone-Linear Programming's and Semidefinite Programs: Geometry and a Simplex-type Method».
Motakuri Ramana (avec Levent Tunçel et Henry Wolkowicz), dans sa conférence intitulée «Strong Duality for Semidefinite Programming», a remarqué que, contrairement à la PL, un écart dual peut survenir en PSD. Deux approches pour réduire l'écart sont alors comparées: malgré une base commune, l'une est du type polynomial, l'autre non.
Jos F. Sturm (avec Zhi-Quan Luo et Shuzhong Zhaang) a parlé sur «Duality and Self-Duality for Semidefinite and Conic Convex Programming».
Laurent Porkolab (avec Leoni Khachiyan) a discuté des «Bounds on Feasible Solutions of Semidefinite Programs».
Lleonide Faybusovich a présenté ses travaux sur «Infinite-dimensional Semidefinite Programming: Self-Concordant Barriers and Path-Following Algorithms for Semidefinite Programming».
Alexander Shapiro s'est intéressé aux «Second Order Optimality Conditions and Stabilitiy Analysis of Semidefinite Programs».
Katya Scheinerg (avec D. Goldfarb) s'est penchée sur «Interior Point Trajectories in Semidefinite Programming».
Manuel A. Nunez (avec Robert M. Freund), dans son exposé intitulé «Condition Measures and Properties of the Central Trajectory of a Semidefinite Program», a utilisé le nombre de condition de Renegar pour fournir des bornes sur la taille des solutions et les taux de changement de la solution, montrant ainsi à quel point cela simplifie l'analyse de sensibilité en PSD.
D'autres applications en PSD ont été introduites et discutées. Au vu de ses nombreuses applications et des questions théoriques fascinantes et intrigantes qu'elle relève, la PSD promet d'être une des branches les plus actives de la programmation mathématique pour les années à venir.
Lieven Vandenberghe (avec Stephen Boyd et Shao-Po Wu) a parlé sur «Determinant Maximization with Linear Matrix Inequality Constraints». Les applications intéressantes de ce problème consistent, par exemple, à trouver l'ellipsoïde de volume minimal qui contient un polytope donné ou certains points donnés.
Arjan Berkelaar (avec Shuzhong Zhang), dans son exposé intitulé «Convergence Issues and Path Following Algorithms for Semidefinite Programming», a présenté des problèmes de convergence reliés aux récents algorithmes primaux-duaux de point intérieur pour le problème de complémentarité linéaire monotone semi-défini.
Renato Monteiro, dans sa conférence intitulée «On Two Interior-Point Mappings for Nonlinear Semidefinite Complementarity Problems», a présenté les propriétés de deux fonctions fondamentales associées à la famille de méthodes de point intérieur pour résoudre les problèmes non linéaires monotones de complémentarité sur le cône des matrices symétriques positives semi-définies. La première de ces fonctions mène à une famille de nouvelles trajectoires continues incluant la trajectoire centrale comme cas particulier. Les trajectoires remplissent complètement l'ensemble des points intérieurs réalisables pour le problème, de la même façon que les chemins centraux pondérés remplissent l'intérieur de la région réalisable d'un programme linéaire.
Boris Mirkin a donné un exposé sur «A Mine of Semidefinite Programming Problems».
Ding-zhu Du a discuté de «Floorplan Design and Optimization; Jun Gu des «Parallel Algorithms for Satisfiability (SAT) Problem», et Linas Mockus (avec J. Mockus et A. Mockus) de «Bayesian Approach to Combinatorial Optimization».
Mauricio Resende (avec Panos Pardalos) a parlé sur «Using linear programming to help solve quadratic assignment problems». Les problèmes en PL, utilisés pour obtenir des bornes inférieures pour les problèmes d'affectation quadratique sont très larges et très dégénérés. Pour de tels problèmes, les algorithmes de type simplexe et les méthodes de point intérieur basées sur les factorisations directes peuvent seulement résoudre certains exemples particuliers. Les autres exemples peuvent être résolus avec succès avec un algorithme de point intérieur qui utilise une approche de gradient conjugué préconditionnelle pour calculer approximativement les directions de point intérieur.
M.R. Emamy-K a présenté une conférence intitulée «How efficient can we maximize threshold pseudo-Boolean functions?» La classe des fonctions pseudo-booléenne à seuil a été introduite par P.L. Hammer et al il y a environ dix ans. L'existence d'un algorithme polynomial pour maximiser ces fonctions a été un problème ouvert depuis lors.
Pham Dinh Tao (avec Le Thi Hoai An) a parlé sur «Difference of Convex Functions Optimization: Theory, Algorithms and Applications». Une discussion générale sur l'optimisation des fonctions différence de deux fonctions convexes fut présentée. Son importance réside en ce que la programmation de telles fonctions marque le passage de l'optimisation convexe à l'optimisation non-convexe.
Laura Palagi (avec Stefano Lucidi) a exposé sur «Trust region Problems: Theoretic Results and New Algorithmic Developments». Le sous-problème de région de confiance est important en programmation non linéaire ainsi que pour d'autres applications en optimisation combinatoire. La structure particulière du problème permet de résoudre une minimisation équivalente sans contraintes d'une fonction de mérite quartique par morceaux.
Le Thi Hoai An (avec Pham Dinh Tao) a donné une conférence sur «An efficient adapted DCA and Branch-and-Bound Algorithm for globally solving large-scale 0-1 quadratic programming problems».
Un compte rendu de l'atelier sera publié par l'American Mathematical Society, dans la collection du Fields Institute.
Depuis la naissance de la mécanique quantique, la théorie de la représentation des algèbres de Lie et des groupes de Lie fut employée, avec succès, pour calculer et analyser les spectres des systèmes physiques compliqués à haut degré de symétrie géométrique ou dynamique. Durant la dernière décennie, les méthodes algébriques ont aussi commencé à jouer un rôle significatif pour les problèmes de la mécanique quantique et statistique où aucune symétrie n'est présente. Un exemple simple qui vient à l'esprit est celui de la théorie des systèmes quasi-exactement solubles en mécanique quantique, où le problème spectral associé à l'opérateur de Schrödinger peut ne pas être exactement soluble, mais pour lequel au moins une partie du spectre peut être calculé algébriquement, grâce à l'existence d'une algèbre de symétrie cachée. D'autres exemples significatifs portant sur les dernières recherches, concernent les applications du spectre engendrant les algèbres, à la dynamique moléculaire et le rôle joué par les algèbres quantiques dans certains modèles exactement solubles en mécanique statistique.
L'objectif de l'atelier était de rassembler des mathématiciens, des experts en physique théorique et des chimistes pour participer activement à la recherche de nouvelles approches algébriques. Il y avait en tout vingt-neuf conférenciers dont les exposés étaient organisés autour de trois sous-thèmes principaux.
Solvabilité quasi-exacte et algèbres engendrant les spectres: Alhassid (Yale), Brihaye (Mons), Iachello (Yale), Gonzalez-Lopez (Madrid), Kamran (McGill), Levine (Hebrew), Lipkin (Weizmann), Matsen (Austin), Milson (Minnesota), Novikov (Steklov/Maryland), Olver (Minnesota), Paldus (Waterloo), Turbiner (UNAM), Ushveridze (Lodz), Wulfman (Pacific), Zaslavskii (Kharkov).
Méthodes algébriques en mécanique statistique, incluant les groupes quantiques, l'Ansatz de Bethe et l'équation de Yang-Baxter: Cizek (Waterloo), Gates (Gainesville), Gould (Brisbane), Kauffmann (Chicago), Kibler (Lyon), Oerhn (Gainesville), Saint-Aubin (CRM), Vinet (CRM), Wiegmann (Chicago).
Autres sujets mathématiques: Gerstenhaber (Pennsylvania), Patera (CRM), Rowe (Toronto), Winternitz (CRM).
Vu la nature quelque peu multidisciplinaire du sujet, les organisateurs voulaient qu'un vrai dialogue s'initie entre les mathématiciens, physiciens et chimistes participants, ce qui fut bien le cas. Par exemple, la nature précise de la relation entre les algèbres de symétrie cachée, étudiées par les mathématiciens, et les algèbres engendrant les spectres, développées par les experts en physique théorique et chimie quantique, fut bien éclaircie lors d'une conférence. De la même façon, le problème quelque peu vague sur la solvabilité quasi-exacte en dimensions supérieures a pu être mieux cerné et compris.
Le comité d'organisation a reçu plusieurs offres de publication pour les comptes rendus de l'atelier.
Une école d'été sur la dynamique nonlinéaire en physiologie et en médecine, surnommée «Montréal 96», a été organisée pour la première fois à Montréal par le Centre for Nonlinear Dynamics in Physiology and Medicine (CNLD), situé au Département de physiologie, Université McGill, à Montréal. Des quelques 100 demandes de participation, les 60 premières ont été retenues. Ces étudiants représentaient 16 pays et des disciplines telles la biologie, la médecine, la psychologie, la physiologie, la physique théorique et, évidemment, les mathématiques appliquées. On comptait, parmi les participants, des étudiants des dernières années de baccalauréat jusqu'aux cycles supérieurs, des chercheurs post-doctoraux, des professeurs d'universités et des médecins.
La Semaine 1 de Montréal 96 mettait l'accent sur les applications de la dynamique nonlinéaire à l'étude de la stabilité du régime permanent, des oscillations et du chaos dans les systèmes biologiques. Les périodes matinales de la Semaine 2 portaient sur des sujets plus avancés incluant la théorie des bifurcations, les modèles stochastiques, des études de situations modélisées avec des délais inhérents (désordres hématologiques) et les équations différentielles aux dérivées partielles. Les après-midi de cette Semaine 2 étaient consacrés aux séries chronologiques et leurs liens avec la dynamique. La Semaine 3, la dernière, poursuivait les études de cas illustrant l'utilisation des techniques développées durant les deux premières semaines au tremblement neurologique, à la résonance stochastique des neurones sensoriels, aux problèmes de réentrée cardiaque, au réflexe de la pupille et au comportement chaotique de l'axone géant de la poulpe lorsqu'il est stimulé périodiquement. Les notes de cours rédigées par les conférenciers ont été colligées et distribuées à tous les participants.
Deux caractéristiques ont fait de Montréal 96 un événement unique. La première est l'inclusion et l'intégration des conférences sur les séries chronologiques et sur leurs applications aux concepts de la dynamique. La seconde est les laboratoires quotidiens où l'ordinateur était utilisé pour illustrer les concepts des cours à l'aide d'expériences numériques. Les logiciels écrits par les conférenciers avaient recours au logiciel commercial MATLAB ou au logiciel du domaine public XPPAUT (écrit par Bard Ermentrout, Université de Pittsburgh) qui incorpore l'ensemble de routines d'analyse des bifurcations AUTO écrit par Eusebius Doedel du CNLD. Les étudiants gradués et les chercheurs postdoctoraux du CNLD aidaient les professeurs à compléter le manuel de laboratoire.
Montréal 96 fut un tel succès qu'un Montréal 97 est à l'état de projet. Pour en savoir plus, on consultera la page web:
Le Centre de recherches mathématiques et le Fields Institute annonçaient en début d'année 1994 la création d'un nouveau prix conjoint visant à souligner des réalisations exceptionnelles en sciences mathématiques. Le récipiendaire est choisi par le Comité consultatif du CRM et le Scientific Advisory Panel du Fields Institute sur la base de contributions remarquables à l'avancement de sa discipline. Les travaux des candidats doivent avoir été faits principalement au Canada ou en collaboration avec une université canadienne. En acceptant le prix d'une valeur de 5000$, le récipiendaire s'engage à présenter deux conférences, l'une au CRM, l'autre au Fields Institute.
Le premier prix fut accordé au professor H.S.M. Coxeter de l'Université de Toronto. À cause de certaines contraintes, la cérémonie de la remise du prix n'a eu lieu que cet automne. Ce fut donc le 22 septembre 1995 que le professeur Coxeter donna sa conférence intitulée «Evolution of Coxeter-Dynkin Diagrams», puis reçut son prix des mains du directeur du CRM, Luc Vinet. Le professeur Coxeter a même gentiment accepté de donner une seconde conférence, cette fois adressée aux étudiants du premier cycle: la conférence intitulée «Euler's formula for polyhedra» s'est tenue dans un amphithéâtre comble, devant un auditoire de jeunes mathématiciens qui, faute de places, n'hésitaient pas à se tenir debout le long des murs ou même à s'asseoir par terre; ce fut une expérience mémorable!
Le prix CRM/Fields de l'année 1995 fut accordé au professeur George A. Elliott de l'Université de Toronto et de l'Université de Copenhague. La cérémonie de remise du prix a eu lieu le 19 avril 1996, au CRM, juste après la conférence du professeur Elliott intitulée «C*-algebras at the CRM». Elliott est si renommé par sa classification des C*-algèbres via les invariants liés à la K-théorie ordonnée, et ses travaux ont tellement eu un impact dans ce domaine, que les spécialistes parlent tout simplement du «programme Elliott». Mentionnons aussi qu'Elliott fut invité à donner une conférence au Congrès International des Mathématiciens en 1994.
Georges Elliott a obtenu son baccalauréat en 1965 et sa maîtrise en 1966, à l'Université Queens, à Kingston, et son Ph.D. à l'Université de Toronto en 1969. Après des études postdoctorales à l'Université de Colombie Britannique et l'Université Queens, où il s'est vu octroyer plusieurs bourses, il a poursuivi ses recherches à l'Institute for Advanced Study, à Princeton, avant d 'accepter un poste de «lektor» à l'Université de Copenhague en 1972. En 1984, il fut nommé professeur adjoint à l'Université de Toronto.
Le professeur Elliott a publié plus de cent articles et donné de nombreuses conférences dans plus de quarante-huit universités et lors de diverses rencontres. Il fut l'un des éditeurs du Canadian Journal of Mathematics et du Canadian Mathematical Bulletin, et est maintenant éditeur du Mathematical Reports of the Academy of Sciences of Canada.
En plus de ses travaux sur les C*-algèbres, Elliott a apporté une contribution notable dans d'autres branches liées aux algèbres d'opérateurs, notamment sur les dérivations et les automorphismes des C*-algèbres, sur la classification des AF-algèbres en termes de leurs K0-groupes ordonnés et sur les tores non-commutatifs.
En 1991 a été créé le Prix de mathématiques André Aisenstadt qui vise à reconnaître le talent des jeunes mathématiciens canadiens. Le Prix, d'une valeur de 3000$, est attribué pour des résultats de recherche en mathématiques pures ou appliquées. Le récipiendaire est choisi par le Comité consultatif du CRM. Au moment de la mise en nomination, les candidats doivent être citoyens canadiens ou résidents permanents du Canada et avoir terminé leur doctorat depuis moins de sept ans. Niky Kamran (1991), Ian Putnam (1992), Michael Ward et Nigel Higson (1994) en furent les premiers récipiendaires.
Le Prix de mathématiques André Aisenstadt fut accordé en 1995 au professeur Adrian S. Lewis de l'Université de Waterloo, pour ses travaux significatifs dans de nombreux domaines de mathématiques: optimisation mathématique, analyse convexe et non lisse, analyse fonctionnelle, théorie des matrices, et calcul en optimisation. Il est surtout reconnu mondialement pour ses recherches en programmation convexe des matrices hermitiennes. C'est le 26 avril 1996 que le directeur du CRM, Luc Vinet, remit le prix André Aisenstadt au professeur Lewis, juste après sa conférence intitulée «Convex Analysis and Applications».
Le professeur Lewis a complété ses études du 1er, 2e et 3e cycles à l'Université Cambridge, en Angleterre, où il a obtenu son Ph.D. en 1987 et rédigé sa thèse «Extreme Point Methods for Infinite Linear Programming». Récipiendaire de bourses de recherche, il a travaillé à l'Université Cambridge et l'Université Dalhousie, pour ensuite poursuivre ses recherches en 1988 à l'Université de Waterloo, où il est actuellement Associate Professor au département de combinatoire et d'optimisation.
Adrian Lewis a publié plus de trente articles dans des journaux de renom et a donné de nombreux colloques et conférences, parmi lesquels son discours à la Conférence SIAM sur l'optimisation, en 1996, fut des plus remarqués. Il a aussi été invité par les universités de Marseilles et de Toulouse pour y exposer ses travaux et collaborer conjointement avec les chercheurs français. Lewis est membre du comité de rédaction du SIAM Journal on Optimization et fait partie du comité d'arbitrage de dix autres journaux importants.
Le Centre de recherches mathématiques et l'Association canadienne des physiciens ont créé conjointement, cette année, la Médaille CAP/CRM soulignant des réalisations exceptionnelles en physique théorique et mathématique. La première médaille a été accordée au Congrès annuel 1995 de l'ACP au Prof. Werner Israel de l'Université d'Alberta.
Lors de la remise de la Médaille à son directeur de thèse, mentor et ami, le Dr. Eric Poisson était invité à présenter le récipiendaire à l'audience: «Werner est né à Berlin au début des années trente. Peu après, lui et sa famille émigrèrent à Cape Town, Afrique du Sud. Il y résida jusqu'à son départ pour Dublin, Irelande, où il poursuivit ses études supérieures. Werner y obtint son doctorat de Trinity College en 1960. C'est à Dublin qu'il rencontra et épousa sa femme Inge. Les deux déménagèrent alors à Edmonton où Werner s'était vu offert un poste de professeur adjoint dès 1958. Il y est toujours.»
«Le domaine de recherche de Werner est la relativité générale, et plus spécialement les trous noirs. Ses contributions dans ce domaine sont nombreuses et profondes; tout au long de sa carrière, son rôle a été celui d'un leader.»
«Vers la fin des années soixante, Werner formula un théorème qui prit les spécialistes du sujet par surprise. Werner montra qu'un trou noir isolé et qui n'est pas en rotation doit être à symétrie sphérique, et ce quelque soit la forme initiale de l'étoile. Elle aurait pu être un cube et le trou noir résultant n'en serait pas moins une sphère! Ce théorème suscita de l'enthousiasme et les années suivantes virent plusieurs généralisations (par Werner ainsi que par d'autres chercheurs) aux cas chargés et en rotation. Ce résultat, maintenant connu sous le nom de no-hair theorem, est un des plus puissants et élégants résultats de la théorie de la gravitation.»
«Plus récemment, les efforts scientifiques de Werner ont été consacrés à l'étude de la constitution interne des trous noirs. Werner a montré que la singularité d'un vieux trou noir est de type lumière plutôt que de type espace et possède un ordre plus grand que celui initialement soupçonné.»
«Les travaux de Werner combinent une grande intuition physique avec l'élégance de la formulation mathématique. De plus, la grande majorité de ses travaux ont été marqués par l'originalité et l'innovation et placent Werner parmi les leaders du sujet. En fait, dans sa lettre de recommandation, Kip S. Thorne écrit:
A l'exception de Stephen Hawking (Cambridge University) et de Roger Penrose (Oxford University), personne n'a contribué plus que Werner Israel à notre compréhension de la relativité générale durant ces dernières trente années.»
Le CRM offre de nombreuses conférences qui s'inscrivent dans une série de séminaires réguliers et qui sont organisées, la plupart du temps, par les membres mêmes du CRM. Ces événements peuvent prendre la forme de cours à titre officiel, d'ateliers ou de conférences de recherches.
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6 november 1998, webmaster@CRM.UMontreal.CA