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culièrement autour d'un problème central de la
théorie de la représentation consistant à décomposer
une représentation donnée en ses composantes
irréductibles. On dit que le nombre d'occurrences d'une
représentation irréductible au sein d'une représentation
est sa multiplicité. Il appert que le calcul de ces
multiplicités est fondamental dans plusieurs domaines de
la physique et des mathématiques. Ainsi pour la
physique cette multiplicité peut correspondre aux
niveaux atomiques, pour l'algèbre elle représente une
dimension, et pour la combinatoire elle répond à un
problème d'énumération. Un résultat classique de
Frobenius rend accessible ces calculs (autrement
difficiles) dans le contexte de la théorie des fonctions
symétriques, au prix du développement de formules
donnant l'expression de certains polynômes en
terme d'une base fixée. Les fonctions de Schur et les
fonctions de Hall-Littlewood ont classiquement joué ce
rôle de bases fondamentales, mais, au cours des
dernières années, de nouvelles bases on été introduites pour
répondre à de nouvelles problématiques. Ces
variantes ont été synthétisées par Macdonald pour donner
naissance à une nouvelle famille de fonctions
symétriques à deux paramètres contenant toutes les bases
précédentes comme spécialisations.
En utilisant des techniques de la théorie des
représentations, de la combinatoire algébrique et
des calculs dans l'algèbre des fonctions symétriques,
il cherche à trouver et démontrer des identités et
des propriétés de ces polynômes de Macdonald. Ce
sujet est particulièrement intéressant en ce qu'il fait
interagir combinatoire, théorie de la représentation,
analyse harmonique, théorie des fonctions spéciales et
géométrie algébrique; et chaque progrès donne lieu à
de multiples questions et applications dans tous ces
domaines.
Analyse statistique multivariée
Martin Bilodeau
Il travaille principalement dans le domaine
de l'analyse statistique multivariée. Ces dernières
années il s'est intéressé à la prévision d'observations dans
des modèles de régression multivarié, à l'analyse en
composantes principales dans les modèles de données
familiales et aux méthodes robustes en général dans
les modèles multivariés.
En prévision on recherche des techniques de
prévision de plusieurs variables qui améliore
uniformément les prévisions basées sur les moindres carrés.
Il travaille à développer l'analyse en composantes prin
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cipales dans les modèles familiaux à partir de la
matrice de corrélation. En ce qui concerne l'analyse
robuste il développe des estimateurs robustes dans
des systèmes d'équations simultanées utiles en
économétrie.
Les groupes algébriques de transformation et la théorie
des invariants
Abraham Broer
Présentement, Abraham Broer s'intéresse aux
variétés algébriques qui sont liées à la théorie des
représentations des groupes de Lie semi-simples. Les
liens entre la théorie des représentations et la géométrie
algébrique sont profonds et très intéressants.
Quelques exemples typiques de telles variétés
sont les variétés nilpotentes dans une algèbre de Lie,
les variétés de décompositions, et le fibré cotangent
d'une variété de drapeaux. Pour l'étude de ces variétés, on
a besoin de la géométrie algébrique, de la topologie
algébrique et la théorie des invariants.
Ces dernières années, il a étudié en particulier
la structure des variétés de décomposition des
algèbres de Lie semi simples, avec des applications dans la
théorie des arrangements d'hyperplans associés aux
groupes de réflexion.
Applications biomédicales de la théorie des systèmes
Robert Brunet
La théorie des systèmes est utilisée pour
analyser et synthétiser l'évolution temporelle de situations
intéressant la science médicale, en particulier
l'épidémiologie des maladies infectieuses et la
toxicologie humaine de l'exposition à des matières
dangereuses. Cette approche, appliquée à la dynamique des
populations affectées par des maladies infectieuses,
représente les diverses catégories d'individus
(susceptibles, infectés, vaccinés, etc. ) par des compartiments en
interaction par le biais de transferts, de facteurs de
contagion, de susceptibilités et de mortalités
différentes. L'évolution temporelle de ces populations en
interaction est décrite mathématiquement par des
systèmes d'équations aux dérivés partielles; de celles-ci
sont tirées des relations importantes entre les divers
taux d'incidence recherchés et des données
disponibles comme la prévalence d'une infection en fonction
du temps et de l'âge. La théorie des systèmes nous
permet aussi de modéliser les processus corporels mis en
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